文章目录
  1. 1. 命题
  2. 2. 例题
  3. 3. 几个求解时可能用到的初等导数
    1. 3.1. 常数导数
    2. 3.2. 幂函数导数
    3. 3.3. 对数函数导数
    4. 3.4. 正余弦函数导数

今天跟阿宝一起学效用论《总效用极大化和消费者均衡》的时候,被计算题折腾得够呛。幸好是两个人一起学习,讨论了一下,明白了一个大概。记录一下,免得忘了。

命题

消费者在既定的预算线约束 $ I = P_1X_1 + P_2X_2 $ 下寻求效用 $ U(X_1,X_2) $ 极大化,是一个条件极值问题,即:

 $$ \cases{ {MaxU(X_1,X_2)}\\{s.t.I = P_1X_1 + P_2X_2} } $$

解决方法是用拉格朗日乘数法。

首先制造拉格朗日函数:

 $$ L = U(X_1,X_2) + λ(I - P_1X_1 - P_2X_2) $$

注:λ = 边际效用 / 商品单价,这个函数的意思是购买商品1和商品2所得的效用,加上购买商品的所剩余预算产生的效用,等于一个值L。

将上式分别对$X_1$、$X_2$、$λ$求导并令其等于0,可得:

$$
\cases{
{\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{\partial U}{\partial X_1} - λP_1 = 0}
\\{\frac{\partial L}{\partial X_2} = \frac{\partial U}{\partial X_2} - λP_2 = 0}
\\{\frac{\partial L}{\partial λ} = I - P_1X_1 - P_2X_2 = 0}
} %}
$$

注:

算式一相当于假设所有的钱都去购买了商品1,那么已经购买的每一个商品1所产生的效用等于边际效用。

同理,算式二相当于假设所有的钱都去购买了商品2,那么已经购买的每一个商品2所产生的效用等于边际效用。

而算式三即是在均衡效用的情况下,购买商品1和商品2的预算,刚好等于消费者的既定预算。

例题

设效用函数 $ U = X_1^{\frac{1}{2}}X_2^{\frac{1}{2}} $ ,两种商品的价格分别是 $P_1=4$元, $P_2=5$元, 消费者收入为$1000$元,试求消费者的最优选择。

(省略其中一种解法,不然自己全混淆了……)

首先制造拉格朗日函数:

 $$ L = X_1^{\frac{1}{2}}X_2^{\frac{1}{2}} + λ(1000 - 4X_1 - 5X_2) $$

分别对$X_1$、$X_2$、$λ$求导并令其等于0,可得:

$$
\cases{
{\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{\partial U}{\partial X_1} - λP_1 = \frac{1}{2}X_1^{-\frac{1}{2}}X_2^{\frac{1}{2}} - 4λ = 0}
\\{\frac{\partial L}{\partial X_2} = \frac{\partial U}{\partial X_2} - λP_2 = \frac{1}{2}X_1^{\frac{1}{2}}X_2^{-\frac{1}{2}} - 5λ = 0}
\\{\frac{\partial L}{\partial λ} = 1000 - 4X_1 - 5X_2 = 0}
}
$$

整理得:

$$
 \frac{\frac{1}{2}X_1^{-\frac{1}{2}}X_2^{\frac{1}{2}}}{4} = \frac{\frac{1}{2}X_1^{\frac{1}{2}}X_2^{-\frac{1}{2}}}{5} = λ
$$

化简为 $4X_1 = 5X_2$,

代入 $1000-4X_1-5X_2 = 0$,

可得消费者最优选择为:

 $X_1 = 125$,$X_2 = 100$

几个求解时可能用到的初等导数

常数导数

 $$ c’ = 0 $$

幂函数导数

 $(x^α)’ = αx^{(α-1)}$

特殊:

 $x’ = 1$, $(x^2)’ = 2x$

 $(\frac{1}{x})’ = -\frac{1}{x^2}$, $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

对数函数导数

 $(log_αx)’ = \frac{1}{x\ln α}$,$(\ln x)’ = \frac{1}{x}$

正余弦函数导数

 $(\sin x)’ = \cos x$, $(\cos x)’ = -\sin x$

大概就是这样吧,但愿我们都理解对了。

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♦ 转载请注明:GSGundam 2015年02月01日发布于 GSGUNDAM砍柴工

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